Реализация, сечение случайного процесса. Характеристики случайных процессов

Применение общих определений, приведенных в предыдущем параграфе, иллюстрируется ниже на нескольких характерных случайных процессах.

Наряду с обозначением случайного процесса символом будет применяться в том же смысле обозначение под которым подразумевается случайная функция времени. Как и ранее, обозначает реализацию случайной функции

1. ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАЙНОЙ АМПЛИТУДОЙ

Пусть в выражении, определяющем сигнал

частота и начальная фаза являются детерминированными и постоянными величинами, а амплитуда А - случайная, равновероятная в интервале от 0 до величина (рис. 4.2).

Найдем одномерную плотность вероятности для фиксированного момента времени . Мгновенное значение может быть любым в интервале от 0 до причем будем считать, что . Следовательно,

Рис. 4.2. Совокупность гармонических колебаний со случайной амплитудой

Рис. 4.3. Плотность вероятности гармонического колебания со случайной амплитудой

График функции для фиксированного значения представлен на рис. 4.3.

Математическое ожиданир

Наконец, дисперсия

Рассматриваемый случайный процесс нестационарный и неэргодический.

2. ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАЙНОЙ ФАЗОЙ

Пусть амплитуда и частота гармонического сигнала заранее достоверно известны, а начальная фаза - случайная величина, которая с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в интервале от до . Это означает, что плотность вероятности начальной фазы

Рис. 4.4. Совокупность гармонических колебаний со случайными фазами

Одну из реализаций случайного процесса образуемого совокупностью гармонических колебаний со случайными фазами (рис. 4.4), можно определить выражением

(4.23)

Полная фаза колебания является случайной величиной, равновероятной в интервале от до . Следовательно,

Рис. 4.5. К определению плотности вероятности гармонического колебания со случайной фазой

Рис. 4.6. Плотность вероятности гармонического колебания со случайной фазой

Найдем одномерную плотность вероятности случайного процесса . Выделим интервал (рис. 4.5) и определим вероятность того, что при измерении, проведенном в промежутке времени от до мгновенное значение сигнала окажется в интервале Эту вероятность можно записать в виде , где - искомая плотность вероятности. Очевидно, что вероятность совпадает с вероятностью попадания случайной фазы колебаний в один из двух заштрихованных на рис. 4.5 фазовых интервалов. Эта последняя вероятность равна Следовательно,

откуда искомая функция

Таким образом, окончательно

График этой функции изображен на рис. 4.6.

Существенно, что одномерная плотность вероятности не зависит от выбора момента времени t, а среднее по множеству (см. (2.271.7) в )

совпадает со средним по времени

(Это справедливо для любой реализации рассматриваемого случайного процесса.)

Корреляционную функцию в данном случае можно получить усреднением произведения по множеству без обращения к двумерной плотности вероятности [см. общее выражение (4.8)]. Подставляя в (4.8)

а также учитывая, что первое слагаемое является детерминированной величиной, а второе слагаемое при статистическом усреднении с помощью одномерной плотности вероятности [см. (4.22)] обращается в нуль, получаем

Такой же результат получается и при усреднении произведения по времени для любой реализации процесса.

Независимость среднего значения от и корреляционной функции от положения интервала - на оси времени позволяет считать рассматриваемый процесс стационарным. Совпадение же результатов усреднения по множеству и времени (для любой реализации) указывает на эргодичность процесса. Аналогичным образом нетрудно показать, что гармоническое колебание со случайной амплитудой и случайной фазой образует стационарный, но не эргодический процесс (различные реализации обладают неодинаковой дисперсией).

3. ГАУССОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Нормальный (гауссовский) закон распределения случайных величин чаще других встречается в природе. Нормальный процесс особенно характерен для помех канала связи. Он очень удобен для анализа. Поэтому случайные процессы, распределение которых не слишком сильно отличается от нормального, часто заменяют гауссовским процессом. Одномерная плотность вероятности нормального процесса определяется выражением

В данном параграфе рассматривается стационарный и эргодический гауссовский процесс. Поэтому под можно подразумевать соответственно постоянную составляющую и среднюю мощность флуктуационной составляющей одной (достаточно длительной) реализации случайного процесса.

Графики плотности вероятности при нормальном законе для некоторых значений изображены на рис. 4.7. Функция симметрична относительно среднего значения. Чем больше тем меньше максимум, а кривая становится более пологой [площадь под кривой равна единице при любых значениях ].

Широкое распространение нормального закона распределения в природе объясняется тем, что при суммировании достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин распределение суммы близко к нормальному при любом распределении отдельных слагаемых.

Это положение, сформулированное в 1901 г. А. М. Ляпуновым, получило название центральной предельной теоремы.

Наглядными физическими примерами случайного процесса с нормальным законом распределения являются шумы, обусловленные тепловым движением свободных электронов в проводниках электрической цепи как дробовым эффектом в электронных приборах (см. § 7.3.).

Рис. 4.7. Одномерная плотность вероятности нормального распределения

Рис. 4.8. Случайные функции с одинаковым распределением (нормальным), но с различными частотными спектрами

Не только шумы и помехи, но и полезные сигналы, являющиеся суммой большого числа незавнси случайных элементарных сигналов, например гармонических колебаний со случайной фазой или амплитудой, часто можно трактовать гауссовские случайные процессы.

На основе функции можно найти относительное время пребывания сигнала в определенном интервале уровней, отношение максимальных значений к среднеквадратическому (пикфактор) и ряд других важных для практики параметров случайного сигнала. Поясним это на примере одной из реализаций гауссовского процесса, изображенной на рис. 4.8, а для Эта функция времени соответствует шумовой помехе, энергетический спектр которой простирается от нулевой частоты до некоторой граничной частоты. Вероятность пребывания значения х(t) в интервале от а до b определяется выражением (4.1). Подставляя в это выражение (4.28), при получаем

Прежде чем дать определение случайного процесса напомним основные понятия из теории случайных величин. Как известно, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестное. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Основной характеристикой случайной величины является закон распределения, который может быть задан в виде графика или в аналитической форме. При интегральном законе распределения функция распределения , где – вероятность того, что текущее значение случайной величины меньше некоторого значения . При дифференциальном законе распределения используют плотность вероятности . Численными характеристиками случайных величин являются так называемые моменты, из которых наиболее употребительны момент первого порядка – среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и центральный момент второго порядка – дисперсия. В случае, если имеется несколько случайных величин (система случайных величин), вводится понятие корреляционного момента.

Обобщением понятия случайной величины является понятие случайной функции , т.е. функции, которая в результате опыта может принять тот или иной вид, неизвестный заранее. Если аргументом функции является время t, то её называют случайным или стохастическим процессом .

Конкретный вид случайного процесса, полученный в результате опыта, называется реализацией случайного процесса и является обычной неслучайной (детерминированной) функцией. С другой стороны в фиксированный момент времени имеем так называемое сечение случайного процесса в виде случайной величины.

Для описания случайных процессов обобщаются естественным образом понятия теории случайных величин. Для некоторого фиксированного момента времени , случайный процесс превращается в случайную величину , для которой можно ввести функцию , называемую одномерным законом распределения случайного процесса . Одномерный закон распределения не является исчерпывающей характеристикой случайного процесса. Он, например, не характеризует корреляцию (связь) между отдельными сечениями случайного процесса. Если взять два разных момента времени и , можно ввести двумерный закон распределения и т.д. В пределах нашего дальнейшего рассмотрения будем ограничиваться в основном одномерным и двумерным законами.

Рассмотрим простейшие характеристики случайного процесса, аналогичные числовым характеристикам случайной величины. Математическое ожидание или среднее по множеству

и дисперсию

Математическое ожидание – это некоторая средняя кривая, вокруг которой группируются отдельные реализации случайного процесса, а дисперсия характеризует в каждый момент времени разброс возможных реализаций. Иногда, используется среднеквадратичное отклонение .

Для характеристики внутренней структуры случайного процесса вводится понятие корреляционной (автокорреляционной ) функции

Наряду с математическим ожиданием (среднее по множеству) (3.1) вводится ещё одна характеристика случайного процесса – среднее значение случайного процесса для отдельной реализации (среднее по времени)

Для двух случайных процессов можно также ввести понятие взаимной корреляционной функции по аналогии с (3.3).

Одним из частных случаев случайного процесса, находящих широкое применение на практике, является стационарный случайный процесс – это случайный процесс, вероятностные характеристики, которого не зависят от времени. Итак, для стационарного случайного процесса , , а корреляционная функция зависит от разности , т.е. является функцией одного аргумента .

Стационарный случайный процесс в какой-то мере аналогичен обычным или установившимся процессам в системах управления.

Стационарные случайные процессы обладают интересным свойством, которое называется эргодической гипотезой . Для стационарного случайного процесса всякое среднее по множеству равно среднему по времени. В частности, например, Это свойство позволяет часто упростить физическое и математическое моделирование систем при случайных воздействиях.

Как известно, при анализе детерминированных сигналов широкое применение находят их спектральные характеристики на базе ряда или интеграла Фурье. Аналогичное понятие можно ввести и для случайных стационарных процессов. Отличие будет заключаться в том, что для случайного процесса амплитуды гармонических составляющих будут случайными, а спектр статического случайного процесса будет описывать распределение дисперсий по различным частотам.

Спектральная плотность стационарного случайного процесса связана с его корреляционной функцией преобразованиями Фурье :

где корреляционную функцию будем трактовать как оригинал, а - как изображение.

Существуют таблицы, связывающие оригиналы и изображения . Например, если , то .

Отметим связь спектральной плотности и корреляционной функции с дисперсией D

координаты цели, измеряет РЛС; угол атаки самолета; нагрузка в электрической цепи.

5. Типы случайных процессов.

В математике существует понятие случайной функции.

Случайная функция – такая функция, которая в результате опыта принимает тот или иной конкретный вид, причем заранее не известный какой именно. Аргумент такой функции – неслучайный. Если аргумент – время, то такая функция называется случайным процессом . Примеры случайных процессов:

Особенность случайной функции (процесса) в том, что при фиксированном значении аргумента (t ) случайная функция является случайной величиной, т.е. при t = t i Х (t ) = X (t i ) – случайная величина.

Рис. 2.1. Графическое представление случайной функции

Значения случайной функции при фиксированном аргументе называются его сечением . Т.к. случайная функция может иметь бесконечное множество сечений, а в каждом сечении она представляет собой случайную величину, то случайную функцию можно рассматривать как бесконечномерный случайный вектор .

Теория случайных функций часто называется теорией случайных (стохастических)

процессов.

Для каждого сечения случайного процесса можно указать m x (t i ), D x (t i ), x (t i ) и в общем случае – х (t i ).

Кроме случайных функций времени иногда используются случайные функции координат точки пространства. Эти функции приводят в соответствие каждой точке пространства некоторую случайную величину.

Теория случайных функций координат точки пространства называют теорией случайных полей . Пример: вектор скорости ветра в турбулентной атмосфере.

В зависимости от вида функции и вида аргумента различают 4 типа случайных процессов.

Таблица 2.1 Типы случайных процессов

размер лужи (непрерывнозначна довательность)

Кроме того различают:

1. Стационарный случайный процесс – вероятностные характеристики которого не зависит от времени, т.е. х (х 1 , t 1 ) = х (х 2 , t 2 ) = … х (х n , t n )=const.

2. Нормальный случайный процесс (Гаусса) – совместная плотность вероятности сечений t 1 … t n – нормальная.

3. Марковский случайный процесс (процесс без последствия) состояние в каждый момент времени которого зависит только от состояния в предшествующий момент и не зависит от прежних состояний. Марковская цель – последовательность сечений марковского случайного процесса.

4. Случайный процесс типа белого шума – в каждый момент состояния не зависит от предшествующего.

Существуют и другие случайные процессы

1.1.1. Гауссовские случайные процессы

гауссовским , если все его конечномерные распределения являются нормальными, то есть

t 1 ,t 2 ,…,t n T

случайный вектор

(X(t 1);X(t 2);…;X(t n))

имеет следующую плотность распределения:

где a i =MX(t i); =M(X(t i)-a i) 2 ; с ij =M((X(t i)-a i)(X(t j)-a j));
;

-алгебраическое дополнение элемента с ij .

1.1.2. Случайные процессы с независимыми приращениями

с независимыми приращениями , если его приращения на непересекающихся временных промежутках не зависят друг от друга:

t 1 ,t 2 ,…,t n T:t 1 ≤t 2 ≤…≤t n ,

случайные величины

X(t 2)-X(t 1); X(t 3)-X(t 2); …; X(t n)-X(t n-1)

независимы.

1.1.3. Случайные процессы с некоррелированными приращениями

Случайный процесс X(t) называется процессомс некоррелированными приращениями, если выполняются следующие условия:

1) tT: МX 2 (t) < ∞;

2) t 1 ,t 2 ,t 3 ,t 4 T:t 1 ≤t 2 ≤t 3 ≤t 4: М((X(t 2)-X(t 1))(X(t 4)-X(t 3)))=0.

1.1.4. Стационарные случайные процессы (см. Глава 5)

1.1.5. Марковские случайные процессы

Ограничимся определением марковского случайного процесса с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова).

Пусть система А может находиться в одном из несовместных состояний А 1 ; А 2 ;…;А n , и при этом вероятность Р ij ( s ) того, что в s -ом испытании система переходит из состояния в состояние А j , не зависит от состояния системы в испытаниях, предшествующих s -1-ому. Случайный процесс данного типа называется цепью Маркова.